El cálculo.
En el siglo XVIII el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores mas destacados, Descartes, Pascal y finalmente Leibniz y Newton, con el cálculo durante buena parte del siglo XVIII los discípulos de Newton y Libniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge, la geometría descriptiva La Grange, también frances, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realiza contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números y desarrollo, la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió teoría analíticas de las probabilidades (1812) y el clásico mecánica celeste (1799-1825).
El gran matemático del siglo el Suizo Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra, que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en esta disciplina.
el éxito de Eules y otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo, solo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo.
Integración Múltiple.
En relación con la integración múltiple, parece claro que, aunque anteriormente se habían utilizado algunas integrales múltiples de tipo geométrico y físico, fue Euler el que tuvo una idea clara sobre el significado de las integraciones dobles extendidas a un recinto plano limitado por arcos, y dio el método para calcularla. Al final del siglo Lagrange y Laplace introdujeron las integrales múltiples en general y estudiaron el cambio de variable en ellas, rápidamente fueron construidas integrales elípticas indefinidas, la función gama y otras mas.
Ecuación en Derivadas Parciales.
Al principio se usó el mismo signo (α) para expresar la derivada. La idea era simple: efectuar la derivada sobre una variable dejando como constantes las otras. La derivada "parcial" (para una variable) tuvo mucha relevancia en las ecuaciones diferenciales, Euler hizo un amplio tratamiento de la derivada parcial.
Entre 1744 y 1745 D´Alembert extendió el cálculo de las derivadas parciales (trabajando en dinámica).
Mas tarde Cauchy vuelve a tomar como buena la definición de D´Alembert y la desarrollo con plenitud. En primer lugar quita problemas a los diferenciales de Leibnitz.
Álgebra.
Con ideas hasta cierto punto anticipadas por Lagrange y por el Italiano Ruffini, Galois creó la teoría de grupo, fundamento del álgebra moderna.
el consideró las propiedades fundamentales del grupo de transformación que pertenecía a las raíces de una ecuación algebraicas y estudió el papel de algunos subgrupos invariantes.
sus publicaciones tuvieron una vida también difícil, aunque en la Ecole había publicado 4 artículos, en 1829 sometió dos a la academia de ciencias, pero fueron perdidos por Cauchy, otro el año siguiente enviado a Fourier, corrió suerte similar por que este ultimo matemático se murió.
Geometría.
Monge se suele caracterizar como el primer especialista en geometría, creó los fundamentos de la geometría proyectiva y ademas contribuyó a la geometría diferencial y analítica.
Monge desarrolló la geometría analítica en tres dimensiones, por ejemplo, hizo un estudio sistemático de la recta en su espacio tridimensional, estudió los parámetros de dirección de una recta, la distancia un punto de una recta, la distancia entre dos rectas, etc.
Uno de sus resultados para dar un ejemplo "Los planos por los puntos medios de las aristas de un tetraedro y respectivamente perpendiculares a las aristas opuestas, se cortan en un punto M que recibe el nombre de "Punto de Monge" del tetraedro. Este punto M es ademas el punto medio del segmento que une al baricentro y el circuncentro del tetraedro.
Teoría de Números.
Lagendre en la teoría de los números hizo contribuciones muy importantes. Su Essai sur la Therorie des nombres, fue el primer tratado exclusivamente de teoría de números. En este incluyó un resultado sobre las congruencias, que es muy famoso.
Probabilidad.
En lo que se refiere a las probabilidades, Laplace partía de la premisa de que estas tenían sentido debido a que medio conocemos y medio desconocemos la realidad circundante. Lo señala con claridad "La probabilidad se relaciona, en parte, con esta ignorancia, en parte con nuestros conocimientos". Sabemos que de tres o mas acontecimientos uno solo puede ocurrir con preferencia a los otros. En este lado de indecisión no es imposible predecir su acontecimiento con certeza. No obstante es probable que uno de estos acontecimientos, tomado arbitrariamente, no ocurra, por que vemos muchos casos igualmente posibles que excluyen su acontecimiento, mientras que solo uno lo favorece.
La teoría de azar consiste en reducir todos los acontecimientos de la misma índole a un cierto número de casos igualmente posibles, es decir, tales que estemos igualmente inseguros de su acontecimiento. El trabajo de Laplace incluye una discusión larga sobre los juegos de azar y de las probabilidades geométricas, incluye el teorema de Bornoulli y su relación con la integral normal, con la teoría de los cuadrados por Legendre.
Laplace mostró como se podían realizar muchas aplicaciones de las probabilidades como, por ejemplo, La teoría de errores, La mecánica estadística y La matemática actuarial.
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